MIMS/CMMA トポロジーとその応用融合研究セミナー

MIMS / CMMAトポロジーとその応用融合研究セミナー
 世話人:河野俊丈、鈴木正明 (明治大学総合数理学部)

参加自由です。皆様のお越しをお待ちしております。

主催: 明治大学先端数理科学インスティテュート(MIMS)

開催方法:
 2022年度はZoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催する予定です(状況により変更あり)。

当日の視聴参加にはミーテイング用Zoomクライアントアプリ(無料アカウントでも視聴可能)の利用が便利ですが、ブラウザからの参加も可能です(パネリストを除く)。

【Zoomクライアントアプリのダウンロード】(公式ホームページ)
https://zoom.us/download#client_4meeting

【視聴参加可能ブラウザ】
・ Chromiun Edge 80以上(推奨)
・ Google Chrome 53.0.2785以上(推奨)
・ Firefox 49.0以降(推奨)
・ Safari 10.0.602.1.50以上



第6回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2022年6月2日(木)17:30~18:30

開催方法: Zoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催


◆講演記録動画

講演者

大林一平 氏
(岡山大学)

"Stable volumes for persistent homology"

Abstract:
 パーシステントホモロジー(Persistent homology, PH)はホモロジーを使ってデータの形の情報を定量化するための手法である。数学的には位相空間の増大列(フィルトレーション)上にホモロジーの構造を考えることとなる。フィルトレーションにスケールの情報をエンコードすることでデータのマルチスケールな幾何的情報を抽出することを可能とする。PHの出力はパーシステント図(Persistence Diagram, PD)と呼ばれる二次元の散布図で、PDの各点は連結成分、ループ、空隙、といったホモロジー的構造に対応している。そこでPDの各点に対応する入力データ上の構造を抽出することが可能となればPDによるデータ解析に非常に便利である。しかしこの問題の解には複数の候補があり、そこから適当なものを選びだす必要がある。数理最適化の手法を用い、ホモロジー理論上の最適化問題としてこれを解く手法が各種提案されている。大林が以前提案したOptimal volume (Volume optimal cycle)[1]もその一つである。こういった手法は既に有効に活用されており、いくつかの問題が見えてきた。本講演では Optimal volume や類似の手法が持つ (1) ノイズに対する不安定性 (2) 最小の構成要素を確率的に取り逃す、といった問題を解決するために大林が最近提案した stable volumes[2]についてその背景から数学的定義、計算法、適用例について紹介する。

[1] Ippei Obayashi. Volume Optimal Cycle: Tightest representative cycle of a generator in persistent homology. SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry 2(4), 508–534, (2018).
 https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/17M1159439

[2] Ippei Obayashi. Stable Volumes for Persistent Homology.
 https://arxiv.org/abs/2109.11711



第5回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2022年1月27日(木)17:30~18:30

開催方法: Zoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催


講演者

金 英子 氏
(大阪大学)

「組ひも群の応用: 平面2n体問題の周期解と黄金比の仲間たち」

Abstract:
 平面のn点周期運動を考えます。 もしも点同士が互いに衝突しない運動であれば、n点の軌跡を考えることによってn 本の組ひもが定まります。 このようにして得られる組ひも(実際は組ひも型)を用いると、多体問題の周期解を分類することができます。一般に組ひもは 3つのタイプ (周期的、可約、擬アノソフ)に分類されます。組ひもが擬アノソフの場合、拡大率(stretch factor) > 1 が定まり、これは組ひもの複雑さを表す不変量となります。全ての組ひも型は平面多体問題の周期軌道で実現できるか? これは R. Montgomery の問題ですが、あまり研究が進んでいません。どのような擬アノソフ拡大率が平面多体問題の擬アノソフ型の周期軌道で実現できるか? という問は関連する問題として挙げられます。Chenciner-Montgomery による平面3体問題の8の字解から得られる組ひもは擬アノソフであり、その拡大率は黄金比 (1番目の金属比)で表せます。この講演では2006年に柴山允瑠 氏によって証明された2n体問題の周期軌道の族について紹介します。柴山氏の族の周期軌道には対称性があり、これを用いて周期軌道から定まる組ひも型は擬アノソフであることが示せます。さらにその拡大率は金属比で表すことができます。金属比、3本の組ひも、2n体問題の周期軌道の族の相互関係が興味深いと思っています。

この研究は、梶原唯加 氏 (京都大学) ・柴山允瑠 氏 (京都大学) との共同研究に基づいています。



第4回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2021年11月18日(木)17:30~18:30

開催方法: Zoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催


◆講演記録動画

講演者

鍛冶静雄 氏
(九州大学マス・フォア・インダストリ研究所)

「離散構造の幾何的表示」

Abstract:
 組合せ最適化が大抵の場合連続最適化より難しいことが示唆するようにグラフや順序などの離散的な構造は計算機で処理しづらい場合があります。 そこで機械学習の前処理としてまず離散的な対象を連続的な対象に置き換えるということがよく行われます。 例えばグラフであれば距離空間への等長埋め込みを与えれば頂点が距離空間の点に対応します。 これを用いて自然言語処理では同時出現頻度や意味関係を元に単語間のグラフを構成しその頂点である各単語を高次元ユークリッド空間の点で表すということがなされます。 こうして対象に座標や距離といった構造が付加され特に微積分の道具が利用可能になることで様々な処理が可能となるわけです。
 この講演では二つの例有向グラフと順序の上の確率分布を取り上げそれぞれ距離空間の部分空間列と超平面配置という幾何的な対象で写しとる方法を紹介します。



第3回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2021年7月29日(木)17:30~18:30

開催方法: Zoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催


◆講演記録動画

講演者

平岡裕章 氏
(京都大学・高等研究院)

「パーシステントホモロジーのマルチパラメータ化に向けて」

Abstract:
  「データの形」を扱うパーシステントホモロジーは、現在、数学研究と応用研究が相互に刺激しながら発展している。特に、パーシステントホモロジーのマルチパラメータ化は、応用研究からの強いリクエストを受け、その数学基盤の整備が進められているが、まだ多くの課題が残されている。
 本講演ではこの問題に対して、応用課題からくる具体的な動機の説明、それに対する表現論的アプローチ、さらには確率論的分解論の意義などに関して幾つかの話題を紹介する。



第2回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2021年6月17日(木)17:30~18:30

開催方法: Zoom社のWebinar機能を使用しオンラインで開催


◆講演記録動画

講演者

坪井 俊 氏
(武蔵野大学)

「平坦トーラスと折り紙」

Abstract:
 平坦トーラスの折り紙としての埋め込みを考えます。区分線型な埋め込みに対し、その上の区分的に滑らかな曲線の長さが定義されるのでこれは意味のある問題です。直感的には局所的に展開して平面上の直線になるような曲線が測地線です。個人的には、これはナッシュ-カイパーの埋め込み定理を説明するで、区分的に滑らかな埋め込みの場合はより易しいかと思ったことに始まります。特に平坦な多様体の埋め込みは、局所的には容易に折り紙埋め込みできるので、大域的実現が具体的に記述できると思ったこと研究のきっかけです。平坦トーラスが折り紙としての埋め込めることは、知られていることでしたが、作って見せられる具体的な形を与えることができるのが面白いと思っています。



第1回トポロジーとその応用融合研究セミナー

日時:2021年5月27日(木) 17:30~18:30

開催方法: オンラインで開催


◆講演記録動画

講演者

下川航也 氏 (埼玉大学)

「DNA組換え酵素の結び目理論的考察」

Abstract:
 この講演では、DNAの組換え酵素の研究に結び目理論が応用されていることを解説する。特に、DNA絡み目を組換え酵素が解消する様子の特徴付けと、関連する話題を取り扱う。


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